Второго (пластмассового) ключа я тоже "боялся" и даже не брал его с собой, не допуская потери основного. Но на практике выяснилось, что это плохая метода, а второй ключ работает только при расстояниях меньше 10...20 см - что-то около этого.
Антенна может быть, но А) маловероятно и Б) легко проверяется: достаточно поднести к ней тот самый второй ключ вплотную...
Наверняка проблема с основным ключом, если всё работает с запасным.
Батарейку проверили... Дальше проверяйте неконтакт: там не бог весть какая сложная, но печатная плата с компонентами, пайка может быть изначально неудачная, или, как случилось у меня, влага попала внутрь и разъело ногу микросхемы. Или наоборот: "коротит" где-то. Короче, как говаривал мой друг еще из 70-х годов, телемастер: "В телевизоре всего 2 неисправности: есть контакт, где не надо и нет контакта, где надо". У вас наверняка или то, или другое. )